2022-12-25

e-typingでThunderに到達

タイピング

お久しぶりです。e-typingはしばらく休止していたものの、久しぶりにやってみたら成績が結構伸びていたので記事を書いています。

いったいなぜでしょう。特に練習した覚えはありませんが、以前よりPCを使う機会が増えたことが原因でしょう。AtCoderで競技プログラミングをしたからでしょうか。

e-typingのアカウントのパスワードを忘れてログインできなくなったので、成績推移が一からになってしまいました......

2020-04-25

微分方程式を解く。直接積分形編

【新】数学講座

どうも、Olqtyです！

今回から、「微分方程式を解く」というブログを書いていきたいと思います。

さて、記念すべき第一回では直接積分形の常微分方程式を解いていきましょう！

対象　　大学生
レベル　★☆☆☆☆

直接積分形とは？
問題を解こう
- 問題１
- 問題２
まとめ

直接積分形とは？

それは、以下のようなものです。

直接積分形

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)$ の微分方程式を、直接積分形と呼ぶ。

解き方は簡単で、 $f(x)$ を積分するだけです。

詳しく解説するまでもないので、早速問題を解いてみましょう！

問題を解こう

問題は2問用意しました。これを解いて、直接積分形の微分方程式をマスターしましょう！

問題１

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{3x}{2+x^2}$ の一般解を求めよ。

では、右辺の分数を積分して解を求めていきましょう。

$\displaystyle\begin{align} y&=\int\frac{3x}{2+x^2}dx\\ &=\frac{3}{2}\int\frac{2x}{2+x^2}dx\\ &=\frac{3}{2}\log{|2+x^2|}+C\ (Cは任意定数) \end{align}$

ここで、 $2+x^2>0$ より、絶対値記号は外せるので、

$\displaystyle y=\frac{3}{2}\log{(2+x^2)}+C$

が一般解となって、答えです。

非常に簡単ですね。この調子で2問目に突入しましょう！！

問題２

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{2x^2+3}{x^2-5}$ の一般解を求めよ。

これも前問と同様にして、右辺の分数を積分して解を求めていきましょう！

$\displaystyle\begin{align} y&=\int\frac{2x^2+3}{x^2+5}dx\\ &=\int\frac{2(x^2+5)-7}{x^2+5}dx\\ &=2\int dx-\int\frac{7}{x^2+5}dx\tag{1}\\ \end{align}$

左側の不定積分は超簡単ですね。

$\displaystyle 2\int dx=2x\tag{2}$

右側の積分は難しいですね。

そんなときは、以下の積分公式を使いましょう！

$\displaystyle \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a}+C\ (Cは任意定数)$

よって、右側の積分は、

$\displaystyle\begin{align}-\int\frac{7}{x^2+5}dx&=-7\int\frac{1}{(\sqrt{5})^2+x^2}dx\\ &=-7×\frac{1}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{5}}+C\ (Cは任意定数)\\ &=-\frac{7\sqrt{5}}{5}\tan^{-1}\frac{\sqrt{5}x}{5}+C\tag{3} \end{align}$

(2)、(3)を(1)に代入して、

$\displaystyle y=2x-\frac{7\sqrt{5}}{5}\tan^{-1}\frac{\sqrt{5}x}{5}+C$

これが一般解であり、答えとなります。

まとめ

直接積分形の微分方程式は、右辺を積分するだけでよいと言うことを実感していただけたでしょうか。

この計算を自分一人の力で行い、人に説明できるようになればあなたの数学力は大きく伸びているはずです。

この記事を何度も読んで直接積分形の微分方程式をマスターしましょう！

ja.wikipedia.org

2020-03-11

二次方程式の解と係数の関係を理解しよう

【新】数学講座

どうも、Olqtyです。

最近、ブログへのアクセス数が増加してきているので少々驚いています。

これからも、Olqtyのブログをよろしくお願いします！

さて、今回は二次方程式の解と係数の関係について解説していきます！

中学範囲の二次方程式を解けることが前提で話が進んでいきますので、解の公式を忘れてしまった人は、以下の記事を参考にしてみてください。
mathdash.hatenadiary.jp

対象　　高校生
レベル　★☆☆☆☆

二次方程式の解と係数の関係って何？
問題を解こう
- 問題１
- 問題２
公式が成り立つ理由
- 導出その一
- 導出その二
まとめ
他にも二次方程式のテクニックを知りたい人へ

二次方程式の解と係数の関係って何？

それは、以下のようなものです。

二次方程式の解と係数の関係

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$ の解を、 $\alpha,\beta$ とおくと、

$\displaystyle\left\{\begin{align} \alpha+\beta&=-\frac{b}{a} \\ \alpha\beta&=\frac{c}{a} \end{align}\right.$

が成立する。

これの便利なところは、わざわざ二次方程式の解を求めることなく、二つの解の基本対称式の値を求めることができるというところです。

まぁ、何を言っているのか分からないかもしれませんので、具体的な問題を解いて、便利さを実感してみましょう！

2020-03-02

「特殊な」二次方程式の解の公式を導出しよう

【新】数学講座

どうも、Olqtyです。

今回は皆さんがよく見る二次方程式の解の公式とは少し異なる公式を導出していこうと思います！

ちなみに、この特殊な公式を習得すれば、計算スピードが向上しますよ！

対象　　中学三年生
レベル　★★☆☆☆

式変形スタート！
公式を使ってみよう
まとめ

式変形スタート！

$\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)\tag{1}$

の解の公式が

$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{2}$

であるところからスタートしていきます。

この公式の導出を知りたい方は、以下の記事を参考にしてくださいね。
mathdash.hatenadiary.jp
さて、 $(1)$ の解が $(2)$ であるということは、

2020-03-01

二次方程式の解の公式を導出しよう

【新】数学講座

どうも、Olqtyです。

今回は二次方程式の解の公式を導出していこうと思います。

対象　　中学三年生
レベル　★★☆☆☆

式変形スタート！
まとめ
更に発展した解の公式を知りたい方へ

式変形スタート！

$\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a \neq 0)$ を変形していきましょう！

左辺を $a$ で括ります。

$\displaystyle a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0$

ここでちょっとした技巧。

$\displaystyle a\left\{x^2+2×\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c=0$

$\displaystyle a\left\{x^2+2×\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+c=0$

$\displaystyle a\left\{x^2+2×\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\frac{b^2}{4a}+c=0$

$\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0$

こうすることで、二次方程式を、

$\displaystyle A(X+B)^2+C=0$

という形にすることができました。

実はこの操作のことを平方完成と言います。

詳しくは高校一年生（数Ⅰ）で習います。

さて、式変形の続きをしていきましょう！

とは言っても、ゴールまであと少しです！

$\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$

$\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

完了です！

まとめ

式変形は難しかったでしょうか。

平方完成という中学三年生にとっては高度なテクニックが含まれていましたね。

しかし、この式変形を自分一人の力で行い、人に説明できるようになればあなたの数学力は大きく伸びているはずです。

この記事を何度も読んで二次方程式の解の公式の導出をマスターしましょう！

ja.wikipedia.org

更に発展した解の公式を知りたい方へ

実は、二次方程式の解の公式の表現方法はこれだけではありません。

以下の記事では、より簡単に、より高速に二次方程式を解く方法を紹介しています。

mathdash.hatenadiary.jp

2019-09-09

面白い数学のお話「フィボナッチ数列」

はみ出し数学

皆さん、こんにちは。Olqtyです。

今回から面白い数学のお話というブログシリーズを始めて行きたいと思いますので、よろしくお願いします。

記念すべき一回目はフィボナッチ数列です！

フィボナッチ数列とは
単純なフィボナッチ数列に隠された神秘
- １、花びらの枚数
- ２，螺旋の神秘
- ３，パルテノン神殿はこの神秘を利用して作られた！？
まとめ

フィボナッチ数列。理系の皆さんはよくご存じですよね。

知らない方のために軽く説明します。

2019-09-07

ブログがタイピング練習に最適であることに気づいた

タイピング

e-typing、タイプウェル。

私はこれまで、様々なタイピング練習ツールに手を出してきました。その時期はe-typing至上主義となっていて、ずっと練習をし続けていました。

mathdash.hatenadiary.jp

しかし、もっと言い練習ツールがあることに気がついたのです。

それは、私にとって非常に身近な存在。

ブログ執筆です。

ブログがタイピング練習に最適である理由
まとめ

ブログがタイピング練習に最適である理由

それは主に３つあります。