二次方程式の解と係数の関係を理解しよう

どうも、Olqtyです。

最近、ブログへのアクセス数が増加してきているので少々驚いています。

これからも、Olqtyのブログをよろしくお願いします！

さて、今回は二次方程式の解と係数の関係について解説していきます！

中学範囲の二次方程式を解けることが前提で話が進んでいきますので、解の公式を忘れてしまった人は、以下の記事を参考にしてみてください。
mathdash.hatenadiary.jp

対象　　高校生
レベル　★☆☆☆☆

二次方程式の解と係数の関係って何？
問題を解こう
- 問題１
- 問題２
公式が成り立つ理由
- 導出その一
- 導出その二
まとめ
他にも二次方程式のテクニックを知りたい人へ

二次方程式の解と係数の関係って何？

それは、以下のようなものです。

二次方程式の解と係数の関係

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$ の解を、 $\alpha,\beta$ とおくと、

$\displaystyle\left\{\begin{align} \alpha+\beta&=-\frac{b}{a} \\ \alpha\beta&=\frac{c}{a} \end{align}\right.$

が成立する。

これの便利なところは、わざわざ二次方程式の解を求めることなく、二つの解の基本対称式の値を求めることができるというところです。

まぁ、何を言っているのか分からないかもしれませんので、具体的な問題を解いて、便利さを実感してみましょう！

問題を解こう

問題は二問用意しました。問題を解いて解と係数の関係をマスターしましょう！

問題１

$\displaystyle{3x^2-2x-2=0}$ の解を $\alpha,\beta$ とおくとき、 $\alpha^2\beta+\alpha\beta^2$ を求めよ。

解と係数の関係についての公式が使えるのは、 $\alpha+\beta$ と、 $\alpha\beta$ だけなので、公式が使えるように式を変形します。

$\displaystyle\alpha\beta(\alpha+\beta)\tag{1}$

まず、公式を利用して、 $\alpha+\beta$ の値を求めましょう。

$\displaystyle\begin{align} \alpha+\beta&=-\frac{b}{a}\\ &=-\frac{-2}{3}\\ &=\frac{2}{3}\tag{2} \end{align}$

同様にして、 $\alpha\beta$ も求めていきましょう。

$\displaystyle\begin{align} \alpha\beta&=\frac{c}{a}\\ &=\frac{-2}{3}\\ &=-\frac{2}{3}\tag{3} \end{align}$

最後に、 $(2)$ 、 $(3)$ を $(1)$ に代入します。

$\displaystyle\begin{align} \alpha\beta(\alpha+\beta)&=-\frac{2}{3}×\frac{2}{3}\\ &=-\frac{4}{9} \end{align}$

はい、これが答えとなります。

本当に合っているか確かめてみましょう。

$\displaystyle\begin{align} x&=\frac{b^2\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-2)}}{2×3}\\ &=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{6}\\ &=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3} \end{align}$

ですので、

$\displaystyle\left\{\begin{align} \alpha&=\frac{1+\sqrt{7}}{3} \\ \beta&=\frac{1-\sqrt{7}}{3} \end{align}\right.\tag{4}$

とおくと、

$\displaystyle\begin{align} \alpha^2\beta+\alpha\beta^2&=\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ &=\frac{1+\sqrt{7}}{3}×\frac{1-\sqrt{7}}{3}×(\frac{1+\sqrt{7}}{3}+\frac{1-\sqrt{7}}{3})\\ &=\frac{1^2-(\sqrt{7})^2}{3^2}×\frac{(1-\sqrt{7})+(1+\sqrt{7})}{3}\\ &=-\frac{6}{9}×\frac{2}{3}\\ &=-\frac{4}{9} \end{align}$

確かに合っていますね。

検算をして分かったと思いますが、実はこの問題、まじめに解こうとすると非常に面倒くさいです。

しかし、解と係数の関係の公式を利用すれば楽に計算できます。

これが、便利だと言った理由です！

公式の使い方が分かったところでもう一問解いてみましょう！

問題２

$\alpha^2+\beta^2$ を求めよ。（ $\alpha,\beta$ は先程の問題と同じであるとする。）

$\alpha^2+\beta^2$ を公式が利用できる形に変形します。

$\displaystyle\begin{align} \alpha^2+\beta^2&=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2-2\alpha\beta\\ &=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \end{align}$

この式に $(2)$ 、 $(3)$ を代入します。

$\displaystyle\begin{align} (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta&=\left(\frac{2}{3}\right)^2-2×\left(-\frac{2}{3}\right)\\ &=\frac{4}{9}+\frac{4}{3}\\ &=\frac{16}{9} \end{align}$

これが答えとなります。

本当に合っているか確かめてみましょう。

$(4)$ より、

$\begin{align} \alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\ &=\left(\frac{1+\sqrt{7}}{3}+\frac{1-\sqrt{7}}{3}\right)^2-2×\frac{1+\sqrt{7}}{3}×\frac{1-\sqrt{7}}{3}\\ &=\left(\frac{(1+\sqrt{7})+(1-\sqrt{7})}{3}\right)^2-\frac{2×\{1^2-(\sqrt{7})^2\}}{3^2}\\ &=\frac{4}{9}+\frac{12}{9}\\ &=\frac{16}{9} \end{align}$

確かに合っていますね。

公式が成り立つ理由

問題実践を通して、解と係数の関係の公式の強力さを十分に知ってもらいましたが、「なぜ、この公式が成り立つの？」と疑問に思っている人も多いはずです。

そんな人たちのために、簡単に二通りの導出方法を書いておきます。

導出その一

解の公式を直接用いて導出します。

$\displaystyle\left\{\begin{align} \alpha&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \beta&=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}\right.$

とおくと、

$\displaystyle\begin{align} \alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})+(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{2a}\\ &=\frac{-2b}{2a}\\ &=-\frac{b}{a} \end{align}$

$\displaystyle\begin{align} \alpha\beta&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}\\ &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=\frac{4ac}{4a^2}\\ &=\frac{c}{a} \end{align}$