Olqtyのブログ

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「特殊な」二次方程式の解の公式を導出しよう

【新】数学講座

どうも、Olqtyです。

今回は皆さんがよく見る二次方程式の解の公式とは少し異なる公式を導出していこうと思います！

ちなみに、この特殊な公式を習得すれば、計算スピードが向上しますよ！

  • 対象　　中学三年生
  • レベル　★★☆☆☆　

式変形スタート！

\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a\neq0)\tag{1}

の解の公式が

\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{2}

であるところからスタートしていきます。

この公式の導出を知りたい方は、以下の記事を参考にしてくださいね。
mathdash.hatenadiary.jp
さて、(1)の解が(2)であるということは、

\displaystyle ax^2+2kx+c=0\ (kは整数)

の解は、

\displaystyle x=\frac{-2k\pm\sqrt{(2k)^2-4ac}}{2a}

ということになりますが、右辺の分数は以下のように約分することができます。

\begin{align*} x&=\frac{-2k\pm\sqrt{(2k)^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-2k\pm\sqrt{4k^2-4ac}}{2a}\\ &=\frac{-2k\pm2\sqrt{k^2-ac}}{2a}\\ &=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a} \end{align*}

以上のことをまとめると、このようになります。


特殊な二次方程式の解の公式

\displaystyle ax^2+2kx+c=0の解は、

\displaystyle{x=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}}

ただし、kは整数とする。

公式を使ってみよう

では、実際に問題を解いて、この「特殊な」公式の便利さを実感していきましょう。


\displaystyle{3x^2-2x-2=0}を解け。

この二次方程式はxの係数が偶数であるので、特殊な公式が適用できます。

適用すると、

\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-3×(-2)}}{3}

となるので、

\displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}

です。

本当にこの答えが正しいかを確かめるために、特殊な公式を使わずにこの二次方程式を解いてみましょう。

(2)に代入して、

\begin{align*} x&=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×3×(-2)}}{2×3}\\ &=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}\\ &=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{6}\\ &=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3} \end{align*}

確かに合っていますね。

このように、通常の解の公式では、約分をするためにいくつかの手順を踏まなければなりませんでしたが、特殊な公式を利用することで、約分という面倒くさい作業を省くことができます。

まとめ

特殊な公式を利用することで、計算が楽になることを実感していただけたでしょうか。

この式変形を自分一人の力で行い、人に説明できるようになればあなたの数学力は大きく伸びているはずです。

この記事を何度も読んで特殊な二次方程式の解の公式の導出をマスターしましょう！
ja.wikipedia.org

勉強には息抜きも忘れずに！