Olqtyのブログ

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二次方程式の解の公式を導出しよう

どうも、Olqtyです。

今回は二次方程式の解の公式を導出していこうと思います。

  • 対象  中学三年生
  • レベル ★★☆☆☆

式変形スタート!

\displaystyle ax^2+bx+c=0\ (a \neq 0)を変形していきましょう!

左辺を aで括ります。

\displaystyle a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0

ここでちょっとした技巧。

\displaystyle a\left\{x^2+2×\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c=0

\displaystyle a\left\{x^2+2×\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right\}+c=0

\displaystyle a\left\{x^2+2×\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}-\frac{b^2}{4a}+c=0

\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0

こうすることで、二次方程式を、

\displaystyle A(X+B)^2+C=0

という形にすることができました。

実はこの操作のことを平方完成と言います。

詳しくは高校一年生(数Ⅰ)で習います。

さて、式変形の続きをしていきましょう!

とは言っても、ゴールまであと少しです!

\displaystyle a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}

\displaystyle \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

完了です!

まとめ

式変形は難しかったでしょうか。

平方完成という中学三年生にとっては高度なテクニックが含まれていましたね。

しかし、この式変形を自分一人の力で行い、人に説明できるようになればあなたの数学力は大きく伸びているはずです。

この記事を何度も読んで二次方程式の解の公式の導出をマスターしましょう!

ja.wikipedia.org

 更に発展した解の公式を知りたい方へ

実は、二次方程式の解の公式の表現方法はこれだけではありません。

以下の記事では、より簡単に、より高速に二次方程式を解く方法を紹介しています。

mathdash.hatenadiary.jp

 

勉強には息抜きも忘れずに!